数理生物学入門 第1章

演習1.1

$$dx/dt = rx(1-\frac{x}{K})…(1.2)$$

1階常微分方程式である。

(1)

\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt} &=&r\frac{1}{K}(Kx-x^2)\\
\frac{K}{Kx-x^2}\frac{dx}{dt}&=&r\\
\int \frac{K}{x(K-x)}dx &=&\int r dt
\end{eqnarray*}

$$\frac{K}{x(K-x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{K-x}より部分分数分解を行う。$$
\begin{eqnarray*}
\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{K-x} )dx &=& rt + C\\
\log x – \log (K-x) &=& rt + C\\
\log \frac{x}{K-x}&=& rt +C\\
\frac{x}{K-x}&=& e^{rt+C}\\
x&=& Ke^{rt+C}-xe^{rt+C}\\
x(1+e^{rt+C})&=&Ke^{rt+C}\\
x &=& Ke^{rt+C}/1+e^{rt+C}\\
x&=&K/(e^-({rt+C})+1)　ここでe^{-C} = C’とおくと\\
x&=&K/(1+C’e^{-rt})
\end{eqnarray*}

(2)$y = \frac{1}{x}$

(1.2)に$y = \frac{1}{x}$を代入する。
$$x = \frac{1}{y}より\\
\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{y^2}= -x^2$$

\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dy}\frac{dy}{dt}&=& rx(1-\frac{x}{K})\\
\frac{dy}{dt} &=& -(rx – \frac{rx^2}{K} )\frac{1}{x^2}\\
\frac{dy}{dt} &=& r(\frac{1}{K}-y)…(1)\\
\end{eqnarray*}

ここで(1)の$r$,$1/K$はどちらも定数であり(1,4)と同じである。

$$ r(\frac{1}{K}-y)=uとおく。$$

\begin{eqnarray*}
y&=&\frac{1}{K}-\frac{u}{r}\\
\frac{dy}{dt}&=&-\frac{1}{r}\frac{du}{dt}
\end{eqnarray*}

(1)を代入する。

\begin{eqnarray*}
u&=&-\frac{1}{r}\frac{du}{dt}\\
\int \frac{du}{dt} \frac{1}{u}dt &=& \int -r dt\\
\int \frac{1}{u} du &=& -rt + C\\
\log u &=& -rt + C\\
e^{-rt+C} &=&u (1)と同様にe^C=C’とする\\
C’e^{-rt} &=&\frac{r}{K}-ry\\
\frac{1}{x} &=& \frac{1}{K}-\frac{C’e{-rt}}{r}\\
x &=& K/(1-\frac{K}{r}C’e^{-rt}) -\frac{K}{r}C’ = Cとする。\\
x&=& K/(1+Ce^{-rt})
\end{eqnarray*}

演習1.2

温度が高いほど線がより急激に大きくなっているのでパラメータ$r$は温度が高くなるほど大きくなる。

曲線が頭打ちになり個体数が一定になったときの個体数を比較することで24.8℃で最もKが大きく次に33.6℃、最も小さいのが19.8℃であることがわかる。24.8℃付近でKの値が最も大きくなる山のようになっていると考えられる。

演習1.3